Il raggio dell'atomo dedotto senza risolvere nulla

Si vuole stimare la dimensione dell'atomo di idrogeno senza risolvere alcuna equazione d'onda. Si assuma che l'elettrone sia confinato entro una distanza $r$ dal nucleo e che la relazione di indeterminazione, presa nella forma $r\,p \simeq \hbar$, ne fissi la quantità di moto tipica; si tratti l'energia cinetica come $\frac{p^{2}}{2m}$ e l'energia potenziale come $-\frac{k e^{2}}{r}$. Si assumano $\hbar = 1{,}055 \cdot 10^{-34}$ J·s, massa dell'elettrone $9{,}109 \cdot 10^{-31}$ kg, carica elementare $1{,}602 \cdot 10^{-19}$ C e costante di Coulomb $8{,}99 \cdot 10^{9}$ in unità del Sistema Internazionale. Per quale valore di $r$ l'energia totale è minima? Esprimi il risultato in picometri arrotondato a una cifra decimale.