Il primo ghiaccio sotto la campana

Per mostrare che l'acqua può gelare evaporando, si mette un becher d'acqua sotto una campana di vetro collegata a una pompa rotativa da vuoto. In pochi secondi la pompa toglie l'aria; da quel momento nella campana c'è solo vapore acqueo, l'acqua bolle piano e si raffredda, e dopo qualche minuto sul pelo del liquido compaiono i primi cristalli di ghiaccio. Quanto tempo serve non lo decide la quantità d'acqua che deve evaporare, ma la quantità di vapore che la pompa riesce a portare via: più l'acqua è fredda, più bassa è la sua tensione di vapore e meno massa esce a ogni litro aspirato.

Dati

• massa d'acqua liquida nell'istante in cui l'aria è stata tolta: 250 g, a 25,0 °C
• velocità di pompaggio (volume di gas aspirato nell'unità di tempo, misurato alla pressione e alla temperatura del gas nella campana), costante: $S$ = 12,0 m³/h
• tensione di vapore dell'acqua: 3,17 kPa a 25,0 °C; 0,611 kPa a 0 °C
• calore latente di vaporizzazione dell'acqua, assunto costante: $L_v$ = 2,50 MJ/kg
• calore specifico dell'acqua liquida: $c$ = 4,19 kJ/(kg·K)
• massa molare dell'acqua: $M$ = 18,0 g/mol; costante dei gas: $R$ = 8,314 J/(mol·K)

Ipotesi

• Nella campana c'è solo vapore, in ogni istante alla tensione di vapore dell'acqua alla temperatura che il liquido ha in quell'istante: l'acqua evapora molto più in fretta di quanto la pompa aspiri.
• Il vapore aspirato si comporta come un gas ideale e ha la temperatura del liquido.
• Fra 0 °C e 25,0 °C il logaritmo della tensione di vapore è una funzione di primo grado della temperatura, che passa per i due valori dati.
• Nessun calore arriva al liquido dall'esterno; becher e campana hanno capacità termica trascurabile; il liquido è rimescolato dall'ebollizione e ha una sola temperatura. L'unica energia che il vapore porta via è il calore latente.
• Il tubo fra campana e pompa non limita la portata, e la massa di vapore contenuta nella campana è trascurabile: tutto il vapore che si forma esce dalla pompa.
• Non c'è sopraffusione: il primo ghiaccio compare quando il liquido arriva a 0 °C.

Si fa partire il cronometro nell'istante in cui l'aria è stata tolta e l'acqua è ancora a 25,0 °C. Dopo quanto tempo il liquido arriva a 0 °C e compare il primo ghiaccio? Esprimi il risultato in secondi, arrotondato alla decina.