La crosta di ghiaccio

Un lago di montagna, largo e profondo, ha l'acqua ferma. Quando la superficie comincia a gelare, l'aria sopra il lago si porta a $-12{,}0$ °C e ci resta, senza interruzioni, per 90 giorni. Il ghiaccio cresce verso il basso: il calore che l'acqua libera solidificando attraversa lo strato già formato e si disperde nell'aria.

L'acqua profonda, però, è un po' più calda di zero e invia verso l'alto, contro la faccia inferiore del ghiaccio, un flusso di calore costante $q_a$.

Dati

• temperatura dell'aria, costante: $-12{,}0$ °C
• temperatura della faccia inferiore del ghiaccio, a contatto con l'acqua: 0 °C
• conducibilità termica del ghiaccio: $k$ = 2,2 W/(m·K)
• densità del ghiaccio: $\rho$ = 917 kg/m³
• calore latente di fusione: $L$ = 334 kJ/kg
• flusso di calore dall'acqua verso il ghiaccio: $q_a$ = 8,0 W/m²
• durata del gelo: 90 giorni

Ipotesi

• Quando comincia il gelo lo spessore del ghiaccio è trascurabile.
• La faccia superiore del ghiaccio è alla temperatura dell'aria: si trascurano la resistenza termica del contatto con l'aria e la neve.
• A ogni istante la temperatura dentro il ghiaccio varia linearmente fra le due facce (regime quasi stazionario), e si trascura il calore che serve a raffreddare il ghiaccio già formato.
• Lo strato è piano, orizzontale e di spessore uniforme; tutte le proprietà sono costanti.

Quanto è spesso il ghiaccio alla fine dei 90 giorni? Esprimi il risultato in metri, arrotondato al decimetro (una cifra decimale).