Il secondo elettrone sulla lastra

Una lastra metallica piana, molto estesa e collegata a terra, occupa un piano orizzontale; sopra di essa c'è il vuoto. Un primo elettrone è tenuto fermo a distanza $d$ dalla superficie da un dispositivo che non si sposta e quindi non compie lavoro. Un agente esterno porta poi lentamente un secondo elettrone da una posizione lontanissima, sia dalla lastra sia dal primo elettrone, fino alla stessa distanza $d$ dalla lastra, a distanza orizzontale $s$ dal primo elettrone. Per tutto il tempo il primo elettrone resta fermo, lontano dai bordi della lastra.

Il metodo delle immagini

Il campo elettrico prodotto nel semispazio vuoto da un insieme di cariche puntiformi poste davanti a un piano conduttore esteso e collegato a terra è identico, punto per punto in tutto quel semispazio, al campo prodotto dalle stesse cariche insieme alle loro cariche immagine: per ogni carica $q$ si colloca una carica $-q$ nella posizione simmetrica rispetto al piano. Le immagini non esistono davvero: riassumono l'effetto della carica indotta sulla superficie, e ciascuna si sposta insieme alla carica di cui è l'immagine. Dentro il metallo il campo è nullo.

Dati

• carica elementare: $e$ = $1{,}602\cdot10^{-19}$ C
• costante dielettrica del vuoto: $\varepsilon_0$ = $8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m
• distanza di ciascun elettrone dalla superficie, nella posizione finale: $d$ = 1,00 nm
• distanza orizzontale fra i due elettroni, nella posizione finale: $s$ = 1,00 nm

Ipotesi

• La lastra è perfettamente conduttrice, di estensione infinita rispetto alle distanze in gioco, e resta a potenziale nullo perché collegata a terra.
• Il metallo si comporta come un conduttore continuo fino alla sua superficie geometrica.
• Il secondo elettrone viene spostato molto lentamente, così che la sua energia cinetica resta trascurabile in ogni istante; il primo non si muove mai.
• Si trascurano la gravità, gli effetti relativistici, l'irraggiamento e ogni effetto quantistico.

Quanto lavoro compie l'agente esterno sul secondo elettrone, dalla posizione lontanissima a quella finale? Esprimi il risultato in millielettronvolt (meV), arrotondato all'intero e con il suo segno.