L'altalena

Un bambino si dondola da solo su un'altalena, senza che nessuno lo spinga. Per aumentare l'ampiezza fa una cosa sola, e la fa a tempo: si alza in piedi sul seggiolino ogni volta che passa dal punto più basso, e si riaccovaccia ogni volta che l'altalena si ferma, per un istante, a un estremo della corsa.

Il modello è il seguente. Il bambino è un punto materiale di massa $m$ posto nel proprio centro di massa, collegato al punto di sospensione $O$ da un'asta rigida di massa trascurabile, incernierata in $O$. La distanza fra $O$ e il centro di massa vale $r_\ell$ quando il bambino è accovacciato e $r_s = r_\ell - \delta$ quando è in piedi. Chiamiamo $\theta$ l'angolo fra l'asta e la verticale che scende da $O$, e ampiezza il valore di $|\theta|$ negli istanti in cui la velocità si annulla.

Le due manovre sono queste: il bambino si alza ($r_\ell \to r_s$) esattamente nell'istante in cui passa per il punto più basso, e si riaccovaccia ($r_s \to r_\ell$) esattamente nell'istante in cui l'altalena raggiunge un estremo. All'inizio il bambino è fermo a un estremo, già accovacciato.

Dati

• distanza fra il punto di sospensione e il centro di massa, bambino accovacciato: 2,50 m
• accorciamento prodotto dall'alzarsi in piedi: 0,30 m (quindi 2,20 m da in piedi)
• ampiezza di partenza: 5,0°
• ampiezza da raggiungere: 60°
• accelerazione di gravità: 9,81 m/s²

Ipotesi

• L'asta è rigida, priva di massa e incernierata senza attrito in $O$; può sia tirare sia spingere, quindi resta rigida a qualunque ampiezza.
• Si trascurano il momento d'inerzia del bambino rispetto al proprio centro di massa e il cambiamento della sua forma.
• Entrambe le manovre sono istantanee rispetto al periodo di oscillazione, e al termine di ciascuna il bambino è di nuovo fermo rispetto al seggiolino.
• Attrito nel punto di sospensione e resistenza dell'aria sono trascurabili; il punto di sospensione è fisso.

Chiamiamo semioscillazione il tratto di moto fra un estremo e il successivo. Qual è il minimo numero di semioscillazioni dopo il quale l'ampiezza raggiunge o supera 60°? Rispondi con un numero intero.