Il tubo che gela

Ogni inverno, nelle case disabitate, i tubi dell'acqua si aprono con uno squarcio longitudinale. L'acqua è una delle poche sostanze che aumentano di volume solidificando: il ghiaccio è meno denso dell'acqua. Ne segue che comprimere l'acqua ne ostacola il congelamento, cioè ne abbassa la temperatura di fusione.

La curva di fusione. Lungo la curva che nel piano pressione-temperatura separa il solido dal liquido, la pendenza è data dalla relazione di Clausius e Clapeyron

$$\frac{\text{d}p}{\text{d}T}=\frac{L_f}{T\,(v_{\text{liq}}-v_{\text{sol}})}$$

dove $L_f$ è il calore latente di fusione per unità di massa e $v$ sono i volumi specifici, cioè gli inversi delle densità.

Dati

• densità dell'acqua a 0 °C: $1{,}000\cdot10^{3}$ kg/m³; densità del ghiaccio a 0 °C: 917 kg/m³
• calore latente di fusione dell'acqua: $3{,}34\cdot10^{5}$ J/kg
• tubo di rame: diametro interno 20 mm, spessore di parete 1,5 mm
• carico di rottura a trazione del rame ricotto: $2{,}5\cdot10^{8}$ Pa

Ipotesi

• Il tubo è pieno d'acqua e chiuso alle estremità: l'acqua non può defluire.
• La dilatazione elastica del tubo e la comprimibilità di acqua e ghiaccio sono così piccole che basta congelare una frazione minima dell'acqua per portare la pressione a decine di megapascal: se ne trascura ogni altro effetto su volumi, densità e sforzi.
• La curva di fusione si linearizza attorno a 0 °C (273,15 K) e alla pressione atmosferica; densità e calore latente sono costanti.
• Il tubo è un cilindro a parete sottile e si rompe quando lo sforzo di trazione nella direzione della circonferenza raggiunge il carico di rottura; nel calcolo dello sforzo si usi il diametro interno.
• Il raffreddamento è lento: il sistema è in equilibrio termodinamico istante per istante.

Esiste una temperatura esterna al di sotto della quale il tubo non può in alcun modo evitare di rompersi. Quanto vale? Esprimi il risultato in gradi Celsius, con il segno e con una cifra decimale.