Il compressore del cantiere

I compressori d'aria da cantiere hanno spesso due cilindri in serie con uno scambiatore in mezzo, che raffredda l'aria fra un cilindro e l'altro. Si vuole capire quanto conti quella scelta confrontando alcuni modi ideali di comprimere l'aria.

Per una compressione stazionaria di un gas ideale dalla pressione $p_1$ alla pressione $p_2$, con temperatura di aspirazione $T_1$, il lavoro per mole vale:

• se la compressione è isoterma: $W=R\,T_1\ln(p_2/p_1)$;
• se la compressione è adiabatica reversibile: $W=\dfrac{\gamma}{\gamma-1}R\,T_1\left[\left(p_2/p_1\right)^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right]$.

Dati

• aria aspirata a 1,0 bar e 20 °C, compressa fino a 8,0 bar
• costante dei gas: 8,314 J/(mol·K); rapporto dei calori specifici dell'aria: 1,40; massa molare dell'aria: 29 g/mol
• portata aspirata: 1,0 m³ al minuto

Ipotesi

• L'aria è un gas ideale con calori specifici costanti; ogni stadio di compressione è adiabatico e reversibile.
• Nel compressore a due stadi i due stadi hanno lo stesso rapporto di compressione, e lo scambiatore intermedio riporta l'aria esattamente a 20 °C prima del secondo stadio, senza perdite di pressione.

Chiama divario la differenza fra il lavoro per mole di una compressione adiabatica in un solo stadio da 1,0 a 8,0 bar e il lavoro per mole della compressione isoterma fra le stesse pressioni. Quale percentuale di questo divario viene risparmiata usando il compressore a due stadi? Esprimi il risultato in percentuale, arrotondata all'intero.