La coperta termica

All'arrivo di una maratona i volontari avvolgono i corridori in un telo sottilissimo e argentato. Sulla confezione c'è scritto che il telo «riflette il novanta per cento del calore corporeo».

Un atleta fermo, appena arrivato e ancora sudato, perde calore per tre vie: irraggiamento dalla pelle, convezione verso l'aria che la lambisce, evaporazione del sudore. Il telo cambia tutte e tre le cose: la sua superficie metallizzata ha emissività molto bassa, l'aria che resta intrappolata sotto di esso circola poco, e il telo, essendo impermeabile, arresta l'evaporazione.

Dati

• temperatura della pelle: 33 °C; temperatura dell'aria, calma: 10 °C; superficie corporea esposta: 1,8 m²
• emissività della pelle: 0,97; emissività della superficie metallizzata del telo: 0,050
• coefficiente di scambio convettivo: 10 W/(m²·K) per l'atleta scoperto, 4 W/(m²·K) sotto il telo
• potenza dispersa per evaporazione dall'atleta scoperto: $2{,}0\cdot10^{2}$ W; sotto il telo l'evaporazione si arresta
• costante di Stefan-Boltzmann: $5{,}67\cdot10^{-8}$ W/(m²·K⁴)

Modello e ipotesi

• L'irraggiamento si linearizza: la potenza vale $\varepsilon\,h_{\text{irr}}\,S\,\Delta T$, con $h_{\text{irr}} = 4\sigma T_m^3$, dove $T_m$ è la media in kelvin fra la temperatura della pelle e quella dell'aria e $\Delta T$ la loro differenza. Con il telo si usa la stessa espressione con l'emissività del telo al posto di quella della pelle.
• La convezione vale $h\,S\,\Delta T$, con il coefficiente del caso.
• Il regime è stazionario e le temperature restano quelle dei dati; si trascurano respirazione e conduzione verso il terreno.

Il risparmio è la differenza fra la potenza dispersa dall'atleta scoperto e quella dispersa dall'atleta avvolto nel telo. Quale parte di questo risparmio si deve alla bassa emissività del telo, cioè alla riduzione dell'irraggiamento?