Il piano del forno fra due pizze

In un forno a legna la pizza cuoce in novanta secondi appoggiata sul piano di refrattario. Il calore che cuoce il fondo esce dal piano, e sotto la pizza il refrattario si raffredda. Il pizzaiolo sforna la pizza e, sessanta secondi dopo, ne appoggia un'altra nello stesso punto: il piano ha avuto il tempo di riprendersi?

Un risultato utile. Si consideri un corpo molto spesso, inizialmente a temperatura uniforme, dalla cui superficie si estrae, a partire dall'istante $t=0$, un flusso di calore costante $q$ per unità di area. La temperatura della superficie si abbassa di

$$\Delta T_s(t)=\frac{2\,q\,\sqrt{t}}{e\,\sqrt{\pi}}$$

dove $e=\sqrt{k\rho c}$ è l'effusività termica del materiale ($k$ conducibilità, $\rho$ densità, $c$ calore specifico).

Dati

• piano di refrattario spesso 5 cm, a 450 °C uniformi prima della prima pizza: conducibilità 1,5 W/(m·K), densità $2{,}0\cdot10^{3}$ kg/m³, calore specifico $9{,}0\cdot10^{2}$ J/(kg·K)
• pizza: massa 250 g, superficie di appoggio $7{,}0\cdot10^{-2}$ m², cottura 90 s
• durante la cottura evaporano dal fondo 12 g d'acqua, con calore latente $2{,}26\cdot10^{6}$ J/kg
• la metà inferiore dell'impasto passa da 20 °C a 100 °C; calore specifico dell'impasto $3{,}0\cdot10^{3}$ J/(kg·K)

Ipotesi

• Il calore necessario al fondo arriva tutto dal piano, con flusso costante durante la cottura; il resto della pizza è cotto dall'irraggiamento della cupola.
• Nell'intervallo considerato si trascurano gli scambi della superficie del piano con il fuoco e con l'aria del forno, anche dopo che la pizza è stata tolta (è l'ipotesi più forte del modello, e rende il risultato un limite superiore); il calore si propaga nel piano solo in direzione perpendicolare alla superficie.

Di quanti gradi la superficie del piano, nel punto in cui si appoggia la seconda pizza, è ancora più fredda dei 450 °C iniziali? Arrotonda all'intero.