La portata dei cavi

Un elettricista deve far passare più cavi uguali nello stesso tubo e vuole sapere quanti ne può mettere.

Un cavo percorso da corrente dissipa per effetto Joule e smaltisce il calore dalla superficie esterna verso l'aria. La portata di un cavo è la corrente massima con cui il conduttore raggiunge la temperatura massima tollerata dall'isolante.

Dati

• conduttore di rame di sezione 2,5 mm², resistività alla temperatura di esercizio $2{,}1\cdot10^{-8}$ Ω·m
• diametro esterno del cavo isolato: 4,0 mm
• coefficiente di scambio dalla superficie esterna verso l'aria, irraggiamento compreso: 15 W/(m²·K)
• temperatura massima del conduttore 70 °C; temperatura ambiente 30 °C

Modello del fascio

• $n$ cavi affiancati formano un fascio di sezione circolare, trascurando i vuoti fra un cavo e l'altro.
• Il calore esce solo dalla superficie esterna del fascio, con lo stesso coefficiente di scambio del cavo singolo.
• Tutti i cavi del fascio sono alla stessa temperatura e portano la stessa corrente.

Ipotesi

• Conduttore e superficie esterna dell'isolante sono alla stessa temperatura.
• Il regime è stazionario e la resistività è costante.

Ogni cavo del fascio deve portare una corrente almeno pari alla metà della portata dello stesso cavo posato da solo. Qual è il numero massimo di cavi che si possono riunire nel fascio?