Il piano a induzione e la pentola di alluminio

Un piano di cottura a induzione ha sotto il vetro una bobina piatta percorsa da corrente alternata a 25 kHz. Il campo magnetico variabile induce correnti nel fondo della pentola, che dissipano per effetto Joule. Le correnti non occupano tutto lo spessore del fondo: si concentrano in uno strato superficiale di profondità

$$\delta=\sqrt{\frac{2\rho}{\omega\mu}}$$

dove $\rho$ è la resistività, $\mu=\mu_r\mu_0$ la permeabilità magnetica e $\omega$ la pulsazione. Lo strato si comporta come una lamina di resistenza superficiale $R_s=\rho/\delta$, cioè la resistenza di un quadrato di lamina, di lato qualunque, misurata fra due lati opposti.

Dati

• pentola di alluminio: resistività $2{,}7\cdot10^{-8}$ Ω·m, permeabilità relativa 1
• permeabilità del vuoto: $4\pi\cdot10^{-7}$ H/m
• il percorso della corrente indotta nel fondo equivale a $2\pi$ quadrati di lamina in serie
• bobina: 30 spire, resistenza propria 0,10 Ω, coefficiente di accoppiamento con il fondo 0,70
• potenza da consegnare alla pentola: 2,0 kW

Ipotesi

• Il fondo si comporta come una spira in cortocircuito accoppiata alla bobina: dai morsetti della bobina la sua resistenza $R_p$ appare come una resistenza riflessa $R_{rif}=k^2N^2R_p$, in serie con la resistenza propria della bobina, dove $k$ è il coefficiente di accoppiamento e $N$ il numero di spire.
• Lo spessore del fondo è molto maggiore di $\delta$.
• Si trascurano le perdite nel nucleo di ferrite e nell'elettronica.

Con una pentola di acciaio ferritico lo stesso piano ha un rendimento del 99 per cento. Quanto vale il rendimento con la pentola di alluminio, cioè quale frazione della potenza assorbita dal circuito della bobina finisce nella pentola? Esprimi il risultato in percentuale, arrotondato all'intero.