In continua o in alternata

Le grandi reti elettriche sono in corrente alternata, ma alcune lunghe dorsali terrestri sono in corrente continua. La spiegazione che si sente dare, «in continua le perdite sono minori», è vera solo in parte: la continua richiede stazioni di conversione, che dissipano anch'esse.

Una linea aerea trifase in corrente alternata trasporta una potenza di 1,0 GW. Si valuta di convertirla in corrente continua riusando i conduttori, i tralicci e gli isolatori esistenti, e installando una stazione di conversione a ciascun capo. In continua la linea diventa un bipolo: due dei tre conduttori, uno a potenziale $+V$ e l'altro a $-V$ rispetto a terra, portano la corrente di andata e quella di ritorno; il terzo resta inutilizzato.

Dati

• potenza trasportata: 1,0 GW, con fattore di potenza unitario in alternata
• tensione della linea in alternata: $4{,}0\cdot10^{5}$ V efficaci fra due fasi, cioè $2{,}31\cdot10^{5}$ V efficaci fra ciascuna fase e terra
• perdita per effetto Joule nella linea in alternata: 5,6 % della potenza trasportata per ogni $3{,}0\cdot10^{2}$ km di lunghezza
• ogni stazione di conversione dissipa l'1,5 % della potenza che la attraversa
• l'isolamento di un conduttore è dimensionato sul valore massimo istantaneo della sua tensione verso terra

Ipotesi

• In continua la linea lavora alla tensione più alta che gli isolatori esistenti consentono; la distanza fra i conduttori non pone limiti.
• Le perdite sono piccole: la potenza trasportata si considera la stessa lungo tutta la linea e in entrambe le stazioni.
• Si trascurano effetto corona, effetto pelle e dispersioni negli isolatori.

Oltre quale lunghezza della linea la conversione in continua riduce la perdita complessiva, stazioni comprese? Esprimi il risultato in chilometri, arrotondato alle decine.