Il tuono

Il lampo di un temporale lontano si vede benissimo, ma oltre una certa distanza il tuono non si sente più. Si vuole stabilire quale sia questa distanza.

Dati

• canale di fulminazione verticale, lungo 5,0 km, con la base al suolo; emette il suono da tutta la sua lunghezza
• temperatura dell'aria al suolo: 20 °C
• velocità del suono al suolo: 343,2 m/s
• la temperatura dell'aria cala con la quota di 6,5 K/km, e la velocità del suono cala di 0,60 m/s per ogni kelvin in meno
• livello sonoro efficace del tuono a 1,0 km dal canale: 95 dB
• il livello cala di 3 dB per ogni raddoppio della distanza fino a 5 km dal canale, e di 6 dB per ogni raddoppio oltre i 5 km
• assorbimento atmosferico a 50 Hz: 0,15 dB/km
• soglia di udibilità in ambiente silenzioso fra 50 e 100 Hz: circa 40 dB

Ipotesi

• L'aria è ferma e il suolo è piano.
• Dove non arriva alcun raggio sonoro il tuono non si sente: si trascurano diffrazione e diffusione.
• In un'atmosfera in cui la velocità del suono varia linearmente con la quota, ogni raggio sonoro è un arco di circonferenza, di raggio $c_v/|dc/dz|$, dove $c_v$ è la velocità del suono alla quota in cui il raggio è orizzontale. Si usi la geometria esatta di questi archi, senza approssimazioni per piccole quote.

A quale distanza dalla base del canale, misurata lungo il suolo, un osservatore smette di sentire del tutto il tuono?

Esprimi il risultato in chilometri, arrotondato all'intero.