L'altoparlante che non fa i bassi

Un telefono riproduce bene una voce e non riproduce affatto il colpo di una grancassa. Si vuole capire quanto debba essere grande un altoparlante per produrre un suono grave abbastanza forte.

Una membrana circolare di raggio $a$, montata su un pannello molto ampio, oscilla sinusoidalmente alla frequenza $f$ come un pistone rigido. Per reazione dell'aria si comporta come se fosse immersa in un mezzo viscoso di resistenza di radiazione

$$R_{rad} = \rho c\,S\,\frac{(ka)^2}{2}\qquad\text{per } ka\ll1$$

con $S = \pi a^2$ e $k = 2\pi f/c$: la potenza sonora media irradiata è $\tfrac12R_{rad}v_0^2$, dove $v_0$ è l'ampiezza della velocità della membrana. A queste frequenze la potenza si distribuisce in modo uniforme nel semispazio davanti al pannello.

Dati

• densità dell'aria 1,2 kg/m³; velocità del suono 343 m/s
• frequenza del suono: 30 Hz
• escursione massima della membrana consentita dalla sospensione, intesa come ampiezza dello spostamento: 10 mm
• obiettivo: livello di pressione sonora di 100 dB a 1,0 m dalla membrana; il livello è $20\log_{10}(p_e/p_0)$ dB, con $p_e$ valore efficace della pressione sonora e $p_0 = 2{,}0\cdot10^{-5}$ Pa

Ipotesi

• Vale $ka\ll1$.
• L'amplificatore fornisce tutta la potenza necessaria e il motore dell'altoparlante tutta la forza necessaria.
• Si trascurano le perdite meccaniche.

Qual è il raggio minimo della membrana che permette di raggiungere l'obiettivo a 30 Hz, qualunque siano il magnete, la bobina e l'amplificatore? Esprimi il risultato in centimetri, con una cifra decimale.