Che cosa vede una risonanza magnetica

Una macchina per risonanza magnetica rivela un segnale prodotto dai nuclei di idrogeno di un tessuto immerso in un campo magnetico statico $B$.

Un nucleo di idrogeno nel campo ha due orientazioni possibili, separate in energia di $\Delta E=h\nu$, con $\nu=\gamma B$ e $\gamma$ il rapporto giromagnetico. All'equilibrio termico la polarizzazione, cioè la differenza relativa fra le popolazioni dei due stati, vale

$$p=\frac{N_{\uparrow}-N_{\downarrow}}{N_{\uparrow}+N_{\downarrow}}=\tanh\!\left(\frac{\Delta E}{2k_BT}\right)$$

Solo i nuclei in eccesso contribuiscono al momento magnetico del campione, che vale dunque $Np\mu$, con $N$ il numero di nuclei e $\mu$ il momento magnetico del protone. Dopo un impulso di eccitazione questo momento ruota attorno alla direzione del campo statico con frequenza $\nu$, e induce una forza elettromotrice in una bobina fissa posta vicino al campione.

Dati

• costante di Planck $6{,}626\cdot10^{-34}$ J·s; costante di Boltzmann $1{,}381\cdot10^{-23}$ J/K
• rapporto giromagnetico del protone: 42,58 MHz/T; momento magnetico del protone $1{,}411\cdot10^{-26}$ J/T
• campi statici delle macchine in uso: da 0,50 T a 7,0 T
• temperatura del campione: 310 K

Ipotesi

• Tutto il momento del campione ruota in modo coerente, senza perdite di fase.
• La bobina è priva di perdite e se ne trascura l'autoinduzione.

Si ripete la misura con lo stesso campione, alla stessa temperatura, con la stessa bobina nella stessa posizione, cambiando soltanto il campo statico. Come dipende da $B$ l'ampiezza della forza elettromotrice indotta nella bobina? La domanda riguarda il segnale, non il rapporto fra segnale e rumore.