La fune che non si può tendere

Una fune tesa fra due sostegni non è mai diritta: pende. Tirando più forte pende di meno, e sembra che con una macchina abbastanza potente la si possa rendere diritta quanto si vuole, purché non si rompa.

Una fune omogenea e perfettamente flessibile, sospesa fra due punti alla stessa quota distanti $L$, per piccole pendenze assume la forma di una parabola. Se $w$ è il suo peso per unità di lunghezza e $T$ la sua tensione, la freccia $s$, cioè la distanza fra la retta che congiunge i sostegni e il punto più basso della fune, vale

La fune si spezza quando la tensione divisa per l'area della sua sezione supera la resistenza a rottura $\sigma$ del materiale.

Dati

• accelerazione di gravità 9,81 m/s²
• fune d'acciaio armonico: densità $7{,}85\cdot10^{3}$ kg/m³, resistenza a rottura 1,8 GPa
• distanza fra i sostegni: $L=1{,}0$ km

Ipotesi

• La tensione si considera uguale in tutti i punti della fune.
• I sostegni sono alla stessa quota e non cedono.
• Nessun carico esterno: né vento, né ghiaccio, né pesi appesi.

Qual è la freccia più piccola che si può ottenere tendendo questa fune senza romperla? Esprimi il risultato in metri, arrotondato al decimo.