La goccia che non uccide

Una goccia di nebbia, di pochi micrometri, cade così lentamente da restare sospesa per ore. Una goccia di pioggia è mille volte più grande: arriva a terra in pochi minuti, ma senza far male.

Una goccia di pioggia di raggio $r$ cade in aria ferma e ha raggiunto la velocità limite, alla quale la resistenza dell'aria equilibra il peso. La goccia si modella come una sfera rigida. Per la resistenza dell'aria su una sfera in moto a velocità $v$ si conoscono due espressioni:

$$F_{\text{visc}}=6\pi\eta\,r\,v\qquad\qquad F_{\text{iner}}=\tfrac12\,C_d\,\rho_a\,\pi r^{2}v^{2}$$

La scelta fra le due dipende dal numero di Reynolds $\text{Re}=2rv\rho_a/\eta$, calcolato con la velocità della sfera: l'espressione viscosa descrive bene la resistenza per $\text{Re}$ minore di circa 1, quella inerziale, con il coefficiente $C_d$ dei dati, per $\text{Re}$ compreso fra circa $5\cdot10^{2}$ e $2\cdot10^{5}$. In ciascun intervallo si usa soltanto l'espressione che vi è valida.

Dati

• raggio della goccia: 1,0 mm
• densità dell'acqua: $1{,}00\cdot10^{3}$ kg/m³; densità dell'aria: 1,20 kg/m³
• viscosità dell'aria: $1{,}81\cdot10^{-5}$ Pa·s
• coefficiente di resistenza di una sfera nel regime inerziale: $C_d=0{,}47$
• accelerazione di gravità: 9,81 m/s²

Ipotesi

• Si trascura la spinta di Archimede dell'aria.
• La goccia non si deforma, non evapora e non si rompe.

Qual è la velocità limite della goccia? Esprimi il risultato in metri al secondo, con una cifra decimale.