Il fiume di Titano nel canale del laboratorio

Su Titano scorrono fiumi di metano ed etano liquidi che trascinano ghiaia di ghiaccio d'acqua. Un gruppo di ricerca vuole studiarne il trasporto sulla Terra, in un canale di laboratorio pieno d'acqua, con granuli artificiali di resina caricata, di cui può scegliere a piacere densità e diametro. Il filmato dell'esperimento dovrà poi essere proiettato a una velocità diversa, in modo che i granuli si muovano esattamente come quelli di Titano.

Il moto dei granuli sul fondo di una corrente larga, stazionaria e uniforme, profonda $H$ e con pendenza $S$, dipende da $g$, $H$, $S$, dal diametro $d$ dei granuli, dalla loro densità $\rho_s$ e dalla densità $\rho$ e viscosità cinematica $\nu$ del liquido. Due correnti, una su Titano e una nel canale, si comportano allo stesso modo in scala se hanno uguali cinque numeri puri: la pendenza $S$, il rapporto $H/d$, il rapporto delle densità $\rho_s/\rho$, il numero di Shields e il numero di Reynolds del grano,

$$\theta=\frac{\tau}{(\rho_s-\rho)\,g\,d}\qquad\qquad Re_*=\frac{u_*\,d}{\nu},\qquad u_*=\sqrt{\tau/\rho}$$

dove $\tau$ è lo sforzo di taglio che la corrente esercita sul fondo.

Dati

• Titano: accelerazione di gravità 1,35 m/s²; liquido con densità $5{,}4\cdot10^{2}$ kg/m³ e viscosità dinamica $3{,}0\cdot10^{-4}$ Pa·s; ghiaccio dei granuli con densità $9{,}3\cdot10^{2}$ kg/m³
• il tratto di fiume da riprodurre: granuli di 2,0 cm, profondità 0,50 m, pendenza $2{,}0\cdot10^{-3}$
• laboratorio: accelerazione di gravità 9,81 m/s²; acqua con densità $9{,}98\cdot10^{2}$ kg/m³ e viscosità cinematica $1{,}00\cdot10^{-6}$ m²/s

Ipotesi

• In entrambe le correnti la pendenza è piccola: il seno dell'angolo del letto si confonde con $S$.
• Si trascurano l'attrito sulle sponde, la tensione superficiale e l'atmosfera sopra il liquido.
• Una grandezza di Titano e la corrispondente del canale stanno in rapporti fissati dalla similitudine: lunghezze, velocità e tempi hanno ciascuno il proprio fattore di scala.

Un intervallo di tempo nel canale corrisponde a un intervallo $k$ volte più lungo su Titano. Di quale fattore $k$ va rallentata la proiezione del filmato perché mostri il moto dei granuli con i tempi di Titano?

Esprimi $k$ come numero puro, arrotondato alla prima cifra decimale.