Il nucleo nascosto sotto le montagne di ghiaccio

Una sonda sorvola una luna ghiacciata di raggio 250 km. Dalla lunghezza delle ombre ricava l'altezza delle montagne: la più alta si innalza di 9,0 km sulla pianura circostante. La sonda non passa abbastanza vicino da misurare la massa della luna. Si sa però che la luna è formata da un nucleo sferico di roccia avvolto da un mantello di ghiaccio, e che le montagne sono di ghiaccio.

Una montagna si modella come una colonna verticale di ghiaccio di altezza $h$: il ghiaccio alla base regge finché la pressione dovuta al peso della colonna non supera la resistenza $\sigma$ che il ghiaccio oppone su tempi geologici; oltre quel limite scorre lentamente e la montagna si abbassa. Nel calcolare il peso si usa l'accelerazione di gravità alla superficie della luna, come se fosse la stessa lungo tutta la colonna.

Dati

• raggio della luna: 250 km; altezza della montagna più alta: 9,0 km
• resistenza del ghiaccio su tempi geologici: $\sigma=1{,}0\cdot10^{6}$ Pa
• densità del ghiaccio: $9{,}3\cdot10^{2}$ kg/m³; densità della roccia: $3{,}0\cdot10^{3}$ kg/m³
• costante di gravitazione universale: $6{,}674\cdot10^{-11}$ N·m²/kg²

Ipotesi

• Nucleo e mantello sono sfere concentriche, ciascuna di densità uniforme; la massa delle montagne è trascurabile.
• Si trascurano la rotazione della luna e le forze di marea.
• Le montagne osservate sono stabili: nessuna supera l'altezza massima che il ghiaccio può sostenere, ma non si sa se la più alta sia proprio al limite.

Qual è il raggio più grande che il nucleo di roccia può avere, compatibile con l'osservazione della montagna?

Esprimi il raggio in chilometri, arrotondato alle decine.