Il termometro nella termosfera

A trecento chilometri di quota l'atmosfera terrestre ha una temperatura di circa mille kelvin. Si porta lassù un piccolo termometro, per esempio all'apogeo di un razzo sonda, e lo si lascia arrivare all'equilibrio.

In un gas così rarefatto le molecole viaggiano indisturbate su distanze molto maggiori del termometro e lo colpiscono una per una. Il numero di molecole che attraversano nell'unità di tempo una superficie unitaria, provenendo da un lato solo, è

$$\Phi = \frac14\,n\,\bar v\qquad\text{con}\qquad \bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$$

e ciascuna di esse trasporta in media l'energia $2kT$.

Dati

• costante di Boltzmann $1{,}381\cdot10^{-23}$ J/K; costante di Stefan-Boltzmann $5{,}67\cdot10^{-8}$ W/(m²·K⁴); unità di massa atomica $1{,}661\cdot10^{-27}$ kg
• gas a 300 km: ossigeno atomico (16 u), densità di particelle $2{,}0\cdot10^{15}$ m⁻³, temperatura 1000 K
• termometro: sfera nera di 2,0 cm di diametro
• temperatura dello spazio profondo: 3 K

Ipotesi

• Il termometro è fermo rispetto al gas che lo circonda.
• Uno schermo, che non tocca il termometro e non scambia con esso né calore né molecole, lo ripara dalla radiazione del Sole e da quella della Terra; da tutta la sua superficie il termometro irraggia liberamente verso lo spazio profondo.
• Accomodamento completo: ogni molecola che colpisce il termometro vi si equilibra e riparte con la temperatura del termometro.
• Regime stazionario.

Quale temperatura raggiunge il termometro all'equilibrio? Esprimi il risultato in kelvin, con una cifra decimale.