Il cappotto che smorza il caldo del giorno

Una casa ha muri di pietra molto spessi. Per ridurre le dispersioni d'inverno si pensa di rivestirli all'esterno con un cappotto di polistirene espanso. Ci si chiede che effetto avrà d'estate sull'oscillazione giornaliera della temperatura dentro la pietra.

La pietra si modella come un mezzo omogeneo che occupa il semispazio $z\ge0$, con $z$ misurato dalla faccia a contatto con il cappotto; al suo interno vale l'equazione della conduzione del calore

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\,\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c}$$

La faccia esterna del cappotto ha una temperatura imposta che oscilla con periodo di 24 ore, $T_e(t)=\bar T+A\cos(\omega t)$. Il cappotto ha capacità termica trascurabile: in ogni istante il flusso che lo attraversa, per unità di area, è la differenza di temperatura fra le sue due facce divisa per la resistenza termica $s/k_i$, dove $s$ è lo spessore e $k_i$ la conducibilità.

Dati

• pietra: conducibilità termica $k=0{,}70$ W/(m·K), densità $\rho=1{,}8\cdot10^{3}$ kg/m³, calore specifico $c=8{,}4\cdot10^{2}$ J/(kg·K)
• cappotto: spessore $s=5{,}0$ cm, conducibilità termica $k_i=0{,}040$ W/(m·K)
• periodo dell'oscillazione: 24 ore

Ipotesi

• Si considera il regime periodico, raggiunto dopo molti giorni.
• Il contatto fra cappotto e pietra è perfetto: le due facce a contatto hanno la stessa temperatura.
• A grande profondità l'oscillazione resta limitata; le proprietà dei materiali non dipendono dalla temperatura; si trascurano umidità e irraggiamento.
• Senza cappotto, la temperatura $T_e(t)$ sarebbe imposta direttamente sulla faccia esterna della pietra.

A 30 cm di profondità nella pietra la temperatura oscilla con periodo di 24 ore, con il cappotto e senza. Di quale fattore il cappotto riduce l'ampiezza di questa oscillazione?

Dai il numero puro, ampiezza senza cappotto divisa per ampiezza con il cappotto, arrotondato alla prima cifra decimale.