La ricarica veloce di una bombola con aria residua

Una bombola da immersione rientra con un residuo d'aria e va ricaricata in fretta da un serbatoio di accumulo ad alta pressione. Durante una ricarica veloce la bombola si scalda; si vuole stimare quanto, tenendo conto sia dell'aria già presente sia dell'acciaio della bombola.

La bombola, rigida, è collegata attraverso un rubinetto a un serbatoio grandissimo di aria alla temperatura $T_0$, a una pressione più alta di quella finale. Il rubinetto viene chiuso quando la pressione nella bombola raggiunge $p_f$. La ricarica è così rapida che né il gas né l'acciaio scambiano calore con l'ambiente; alla fine, prima di qualunque scambio con l'esterno, gas e pareti hanno la stessa temperatura $T_f$.

Dati e ipotesi

• volume interno della bombola: 12 L; massa dell'acciaio: 14 kg; calore specifico dell'acciaio: 480 J/(kg·K)
• all'inizio la bombola contiene aria a 50 bar e 20 °C, e le pareti sono a 20 °C
• aria del serbatoio: $T_0$ = 20 °C; pressione finale nella bombola: $p_f$ = 200 bar
• l'aria è un gas perfetto con $\gamma=1{,}40$ e costante per unità di massa $R=287$ J/(kg·K)
• si trascurano l'energia cinetica del gas e la capacità termica del rubinetto

Quale temperatura raggiungono gas e acciaio alla fine della ricarica?