Quanto spessa la guaina del cavo scaldante

Un cavo scaldante è un conduttore percorso da corrente che deve cedere all'aria più calore possibile senza surriscaldare il proprio isolante. Il progettista può scegliere lo spessore della guaina di gomma siliconica che lo riveste, e si chiede come questa scelta cambi la corrente massima ammessa.

Configurazione. Un conduttore di rame cilindrico, molto lungo, di raggio $r_i$ = 1,0 mm, è rivestito da una guaina coassiale di gomma siliconica di raggio esterno $r$, in perfetto contatto con il rame. Il cavo è orizzontale, in aria ferma. La temperatura più alta ammessa per la guaina è 90 °C, e la raggiunge nel punto più caldo, a contatto con il rame; l'aria lontana è a 30 °C. Per confronto si considera anche il conduttore nudo, a cui si impone la stessa temperatura massima di 90 °C.

Dati

• conducibilità termica della gomma siliconica: $k$ = 0,20 W/(m·K)
• coefficiente di scambio fra una superficie cilindrica di raggio $r$ e l'aria, convezione naturale e irraggiamento insieme: $h(r)=h_1\,(r_1/r)^{1/4}$, con $h_1$ = 8,0 W/(m²·K) e $r_1$ = 10 mm

Ipotesi

• Regime stazionario; nella guaina il calore si propaga solo in direzione radiale; il rame ha temperatura uniforme.
• La legge per $h(r)$ vale per il metallo nudo e per la guaina, a ogni raggio considerato; si trascura la sua dipendenza dalla temperatura della superficie.
• La resistività del rame è quella a 90 °C in tutti i casi confrontati.

Quale raggio esterno della guaina permette la corrente più intensa, e quanto vale questa corrente rispetto a quella ammessa per il conduttore nudo?