Il massimo di un freno a correnti indotte

Un freno a correnti indotte non tocca nulla: un magnete fermo affacciato a una lamiera conduttrice in moto vi induce correnti, e le correnti frenano la lamiera. Viene spontaneo pensare che, più veloce scorre la lamiera, più correnti si inducano e più forte sia la frenata.

Configurazione. Una lamiera piana di alluminio, di spessore $t$ e conducibilità $\sigma$, scorre con velocità $v$ nel proprio piano. Su una porzione di essa agisce un campo magnetico applicato $B_0$, perpendicolare alla lamiera, prodotto dal magnete.

Modello a lamiera sottile

• Nella porzione interessata la corrente indotta è uniforme nello spessore e descritta da una densità superficiale di corrente $K$ (corrente per unità di larghezza), anch'essa uniforme.
• La corrente indotta produce a sua volta un campo perpendicolare alla lamiera, di modulo $\mu_0K/2$, che si oppone a quello applicato: nella lamiera agisce quindi un campo netto $B$ minore di $B_0$.
• È il campo netto $B$ a determinare sia il campo elettromotore dovuto al moto, che spinge le cariche nella lamiera, sia la forza per unità d'area sulle correnti, di modulo $KB$. Con questa scelta la potenza frenante è uguale alla potenza dissipata per effetto Joule.
• Il regime è stazionario e si trascurano i bordi della regione di campo.

Dati

• conducibilità dell'alluminio: $\sigma=3{,}5\cdot10^{7}$ S/m
• spessore della lamiera: $t$ = 10 mm
• campo applicato: $B_0$ = 0,30 T
• permeabilità magnetica del vuoto: $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ T·m/A

Al variare della velocità $v$ della lamiera la forza frenante per unità d'area cambia. Qual è il suo valore massimo? Esprimi il risultato in kilopascal, arrotondato all'intero.