Il trasformatore esiste soltanto dentro una finestra di frequenza

Un alimentatore da parete di qualche decennio fa pesava mezzo chilo; uno di oggi, a pari potenza, pesa pochi grammi. La differenza sta quasi tutta nel trasformatore: il primo lavorava alla frequenza di rete, il secondo a decine o centinaia di kilohertz, e un trasformatore che lavora a frequenza più alta può essere più piccolo.

Relazioni

• La tensione efficace indotta in un avvolgimento di $N$ spire su un nucleo di sezione $A$ vale $V=4{,}44\,f\,N\,A\,B$, con $B$ induzione di picco nel nucleo.
• La potenza dissipata nel nucleo per unità di volume vale $p=k\,f^{\alpha}B^{\beta}$, con $\alpha=1{,}5$ e $\beta=2{,}5$; $k$ è una costante del materiale.
• A parità di potenza trasferita, di densità di corrente negli avvolgimenti e di riempimento, il volume del trasformatore scala come $(fB)^{-3/4}$.

Dati (ferrite di potenza)

• potenza dissipata nel nucleo: $1{,}0\cdot10^{5}$ W/m³ a 100 kHz con induzione di picco 0,20 T
• induzione di saturazione: 0,35 T
• il sistema di raffreddamento smaltisce al massimo $1{,}0\cdot10^{5}$ W/m³ di potenza dissipata nel nucleo, a qualunque frequenza

Ipotesi

• A ogni frequenza il progettista, per ridurre il volume, fa lavorare il nucleo alla più alta induzione di picco che esso può sostenere in funzionamento continuo.
• La legge delle perdite vale, con le stesse costanti, a tutte le frequenze considerate; si trascurano le perdite negli avvolgimenti.

Alle frequenze basse, con questa scelta, il volume del trasformatore scala come $f^{-3/4}$. Oltre quale frequenza questa legge smette di valere? Esprimi il risultato in kilohertz, arrotondato all'intero.