Una goccia carica ha due modi di liberarsi

Una goccia d'acqua non può portare una carica elettrica qualunque. Esistono due limiti indipendenti, e quale dei due venga raggiunto per primo dipende dalle dimensioni della goccia.

Primo limite: la rottura. Una goccia sferica di raggio $R$, trattata come un conduttore, con carica $Q$ è stabile rispetto alle deformazioni finché

$$Q^{2}\le64\pi^{2}\varepsilon_0\gamma R^{3}$$

dove $\gamma$ è la tensione superficiale del liquido. Oltre questo valore la repulsione fra le cariche vince la coesione, e la goccia si deforma e si spezza.

Secondo limite: la scarica. L'aria attorno alla goccia si ionizza, e la goccia perde carica, quando il campo elettrico sulla sua superficie, $E=Q/(4\pi\varepsilon_0R^{2})$, raggiunge il campo di scarica dell'aria.

Dati

• tensione superficiale dell'acqua: $7{,}28\cdot10^{-2}$ N/m
• densità dell'acqua: $1{,}00\cdot10^{3}$ kg/m³
• campo di scarica dell'aria secca a pressione ambiente: $3{,}0\cdot10^{6}$ V/m
• campo di scarica dell'aria umida all'interno di una nube: $1{,}0\cdot10^{6}$ V/m
• costante dielettrica del vuoto: $8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m
• le gocce di pioggia non superano i 5 mm di diametro

Una goccia sferica si trova in aria secca a pressione ambiente e viene caricata lentamente, senza che il suo raggio cambi. C'è un solo valore del raggio per cui i due limiti vengono raggiunti con la stessa carica. Quanto vale il diametro della goccia che ha questo raggio? Esprimi il risultato in millimetri, arrotondato alla prima cifra decimale.