La quota a cui scoccano scintille sulla scheda del pallone

Un pallone stratosferico porta una scheda elettronica in cui due piazzole di rame, affacciate a 0,50 mm l'una dall'altra, sono a una differenza di potenziale di 400 V. Al suolo quella distanza è ampiamente sufficiente, ma salendo la pressione cala. La scatola della scheda è aperta verso l'esterno, quindi la pressione è quella dell'aria attorno, ma è riscaldata e resta a 20 °C.

Modello della scarica. Un elettrone liberato vicino al catodo ionizza per urto le molecole che incontra, e il numero di elettroni cresce lungo il percorso come $e^{\alpha x}$. Gli ioni positivi prodotti tornano al catodo e ciascuno vi estrae un nuovo elettrone con probabilità $\gamma$. La scarica si autosostiene quando

dove $d$ è la distanza fra gli elettrodi, e il coefficiente di ionizzazione dipende dal campo elettrico $E$ e dalla pressione $p$ secondo $\alpha/p=A\,e^{-Bp/E}$.

Dati

• per l'aria a 20 °C: $A=15$ 1/(cm·torr), $B=365$ V/(cm·torr), $\gamma=0{,}010$
• pressione dell'aria alla quota $z$: $p=p_0\,e^{-z/H}$, con $p_0$ = 760 torr e $H$ = 8,0 km

Ipotesi: fra le piazzole il campo è uniforme, $E=V/d$; le costanti $A$, $B$, $\gamma$ valgono in tutto l'intervallo di campi che interessa.

Durante la salita, a quale quota diventa possibile per la prima volta una scarica autosostenuta fra le due piazzole? Esprimi il risultato in chilometri, arrotondato all'intero.