Tutti i cicli al massimo lunghi sei

Si sceglie a caso, con distribuzione uniforme, una permutazione $\sigma$ dell'insieme $\{1, 2, \ldots, 12\}$. Sia $P$ la probabilità che per ogni $i$ esista un intero $k$ con $1 \le k \le 6$ tale che $\sigma^{k}(i) = i$, dove $\sigma^{k}$ indica $\sigma$ applicata $k$ volte. Se $P = \frac{p}{q}$ con $p$ e $q$ interi positivi primi fra loro, quanto vale $p+q$?