Un polinomio trigonometrico che non diventa mai negativo

I numeri reali $a$, $b$, $c$ sono tali che $1+a\cos x+b\cos 2x+c\cos 3x\ge 0$ per ogni $x$ reale. Il massimo valore possibile di $a$ si scrive $\frac{p+\sqrt{q}}{r}$, con $p$, $q$, $r$ interi positivi e $q$ non divisibile per alcun quadrato maggiore di $1$. Quanto vale $p+q+r$?