Tre radici cubiche di coseni

Sia $S=\sqrt[3]{\cos 40^\circ}+\sqrt[3]{\cos 80^\circ}+\sqrt[3]{\cos 160^\circ}$, con le radici cubiche reali. Il numero $S^{3}$ si scrive come $\frac{a\sqrt[3]{b}-c}{d}$, dove $a,b,c,d$ sono interi positivi, $b>1$ non è divisibile per il cubo di alcun intero maggiore di $1$ e nessun primo divide tutti e tre i numeri $a$, $c$, $d$. Quanto vale $a+b+c+d$?