Una frazione che cambia a ogni passo

Un registro contiene un numero razionale $x$, che all'inizio vale 1. A ogni passo il registro sostituisce $x$ con $\frac{1}{2\lfloor x \rfloor - x + 1}$, dove $\lfloor x \rfloor$ è la parte intera di $x$. Dopo 2026 passi il registro contiene $\frac{p}{q}$, con $p$ e $q$ interi positivi primi fra loro. Quanto vale $p + q$?