La scala del maestro

Il maestro del conservatorio di Larissa costruisce una scala musicale così: sceglie il polinomio $p(x)$ di grado $2024$ (ce n'è uno solo) che soddisfa

$$p(k) = 2^{k} \qquad \text{per ogni } k = 0,1,2,\ldots,2024 .$$

La nota successiva della scala corrisponde a $p(2025)$. Quanto vale? Rispondi con le ultime quattro cifre.