Le tre voci del coro

Il direttore del coro di Larissa assegna alle tre voci tre numeri interi $a$, $b$, $c$ (positivi, negativi o nulli, non necessariamente distinti) che sono le radici del polinomio

$$x^3 - 1729\,x + k ,$$

dove $k$ è un intero.

Il direttore vuole che tutte e tre le radici siano intere. Qual è la somma di tutti i valori positivi di $k$ per cui questo accade? Rispondi con le ultime quattro cifre.