Il triangolo dei segni

L'indovino di Valdiluce scrive in una prima riga $2025$ numeri, ciascuno dei quali vale $+1$ oppure $-1$. Sotto quella riga ne scrive una seconda, di $2024$ numeri, in cui ogni numero è il prodotto dei due che gli stanno sopra (quello immediatamente a sinistra e quello immediatamente a destra). Continua allo stesso modo, riga dopo riga, finché arriva a una riga di un solo numero, che chiama il responso.

L'indovino si accorge che alcune posizioni della prima riga sono ininfluenti: cambiando il segno del numero scritto in una di esse, il responso non cambia. Quante sono invece le posizioni della prima riga che influenzano il responso, cioè quelle il cui cambiamento di segno cambia il responso?