Il punto che non conta

Il geometra di Ferrania pianta tre paletti $A$, $B$, $C$ ai vertici di un triangolo con

$$AB = 15, \qquad BC = 13, \qquad CA = 14$$

braccia. Sia $G$ il baricentro del triangolo (il punto di incontro delle mediane).

Il geometra sceglie un punto $P$ qualsiasi del piano e calcola

$$Q = PA^2+PB^2+PC^2-3\,PG^2 .$$

Scopre che il risultato non dipende dalla scelta di $P$. Quanto vale $Q$? Rispondi con la somma del numeratore e del denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.