Il quadrato che rimpicciolisce

Il pavimentista parte da una piastrella quadrata. Su ciascuno dei quattro lati segna il punto che lo divide in due parti di lunghezze in rapporto $1:2$, prendendo i quattro punti nello stesso verso di rotazione; unendoli ottiene un nuovo quadrato, inscritto nel primo. Poi ripete la costruzione sul quadrato ottenuto, e così via.

Dopo cinque costruzioni, il rapporto fra l'area del quadrato finale e quella della piastrella di partenza è una frazione ridotta ai minimi termini. Quanto vale la somma del suo numeratore e del suo denominatore? Rispondi con le ultime quattro cifre.