Dodici pesi in cerchio

Quante sono le permutazioni $(a_1, a_2, \dots, a_{12})$ dei numeri $1, 2, \dots, 12$ tali che

$$a_1\omega + a_2\omega^2 + \dots + a_{12}\omega^{12} = 0,$$

dove $\omega = \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}$?